Математика
Ще раз про доведену теорему Пуанкаре
Вівторок, 13 липня 2010, 15:30
Ще не так давно ЗМІ рясніли повідомленнями про те, що Григорію Перельману вдалося довести знамениту гіпотезу Пуанкаре. Найбільше громадськість вразив той факт, що тріумфатор відмовився від нагород і премій, які йому належало отримати. На жаль, про суть відкриття журналісти особливо не розповідали, тому спробуємо заповнити цю прогалину.
Геніальний математик, паризький професор Анрі Пуанкаре займався різними областями цієї науки. Самостійно і незалежно від робіт Ейнштейна в 1905 році він висунув основні положення спеціальної теорії відносності. А свою знамениту гіпотезу він сформулював ще в 1904 році, так що на її рішення було потрібно близько століття.
Пуанкаре був одним з родоначальників топології - науки про властивості геометричних фігур, які не змінюються при деформаціях, що відбуваються без розривів. Приміром, повітряна кулька може з легкістю деформувати в найрізноманітніші фігури - як це роблять для дітей у парку. Але потрібно розрізати кульку, щоб скрутити з неї бублик (або, кажучи геометричною мовою, тор) - іншого способу не існує. І навпаки: візьміть гумовий бублик і спробуйте «перетворити» його в сферу. Втім, все одно не вийде. За своїми топологічними властивостями поверхні сфери і тора несумісні, або негомеоморфні. Зате будь-які поверхні без «дірок» (замкнуті поверхні), навпаки, гомеоморфні і здатні, деформуючись, переходити в сферу.
Add a commentЗнайдено зручну математичну мову для опису дуальності в магнітних системах
Неділя, 20 червня 2010, 17:12
Бельгійський фізик знайшов адекватну математичну мову для з'ясування походження дуальності в решіткових моделях. Результати роботи можуть зрештою привести до кращого розуміння магнітних матеріалів.
Якщо спробувати застосувати найпростіші закони фізики до одного, двох, трьох атомів, то моментально виникає проблема: зі збільшенням числа атомів неймовірно швидко зростає важкість рішення рівнянь. Саме тому немає ніяких шансів на підставі такого підходу отримати хоч якийсь результат, що відноситься до макроскопічного світу з величезним числом атомів.
Але саме тут і починається справжня теоретична фізика. Вона допомагає побачити найбільш загальні, найбільш суттєві для даного явища величини, знайти в арсеналі математики інструменти, найбільш адекватні для цієї ситуації, і застосувати їх. Багато досягнень теоретичної фізики як раз і є результатами вивчення таких самих загальних ситуацій, очищених від лушпиння конкретики, коли залишається лише ядро досліджуваного фізичного явища.
Коли мова йде про фізику конденсованих середовищ, про фізику поверхонь, про фізику магнітних явищ, то в ролі справжніх тестових полігонів виступають різноманітні решітчасті моделі (модель Ізінга, модель Поттса і т. д.). Такі моделі являють собою не що інше, як правильну решітку, у вузлах якої знаходяться «магніти», що взаємодіють з сусідами за певним законом. Якщо цей закон простий, то іноді вдається знайти стан всієї макроскопічної решітки в цілому, і саме тоді виявляються найбільш дивовижні явища. Вивчивши ці явища на спрощених моделях, можна потім успішно передбачати властивості реальних матеріалів.
Add a commentРівняння відтворюють піщані візерунки
Субота, 08 травня 2010, 20:58
Французькі фізики з групи конденсованих середовищ та матеріалів (GMCM) Ренського університету побудували модель виникнення візерунків на піщаному дні річки, яка тече з постійною швидкістю. У своїй роботі вони вперше змогли пояснити двовимірну періодичність утворених візерунків.
Чи може рівномірний рух породити періодичний? Так, і з такими випадками ми стикаємося в житті постійно. Один з найбільш частих прикладів - поява брижів на водній гладі озера при досить сильному вітрі. Вітер при цьому може дути зовсім горизонтально і абсолютно рівномірно, але тим не менше, завдяки гідродинамічній нестійкості, він здатний породити періодичні хвилі помітної висоти.
Менш помітні періодичні «брижі» на піщаному дні річки. Але їх не можна вважати справжніми хвилями. Незважаючи на те, що така пульсація зовні схожа на хвилі на воді і має ту ж причину виникнення (нестабільність суцільного середовища), це статичне явище, і воно підпорядковується іншим рівнянням.
До цих пір теоретичні дослідження цього явища обмежувалися одновимірним випадком: піщинки могли або лежати на дні, або нестися строго вперед, уздовж осі X. Дійсно, у такому одновимірному випадку при підвищенні швидкості течії річки спостерігалося народження періодичної піщаної структури на абсолютно рівному дні. Ці одномірні рішення свідчать, що на реальній, двовимірній, поверхні піщаний візерунок буде являти собою абсолютно рівні гребені, перпендикулярні до напрямку течії (тобто від другого виміру вздовж осі у нічого не залежить).
Add a comment