2015-04-04

Броунівський рух

5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (2 голосів)

Броунівський рух

Спостереження за хаотичним рухом частинки, завислої в рідині, дозволили на початку XX століття точно визначити масу атомів. Зараз броунівський рух служить математичною моделлю випадкових процесів.

Іноді в породах вулканічного походження зустрічаються краплі води, захоплені при охолодженні розплаву. У першій половині XIX століття шотландський ботанік Р. Броун виявив таку краплю в шматку кварцу. Ця вода протягом багатьох мільйонів років була недоступна для спор і квіткового пилку, які переносяться вітром і дощем. Сфокусувавши мікроскоп на краплі, Броун побачив десятки дрібних часток, що рухалися безладним чином. Такий рух не був для Броуна новиною, йому і раніше доводилося спостерігати подібний хаотичний рух при дослідженні частинок квіткового пилку у воді. Але в світлі нового експерименту він змушений був відмовитися від пояснення, яке давав цьому явищу раніше. Броун зробив правильний висновок, що рух частинок, «замкнених» у кварці, повинен бути не біологічним, а фізичним явищем, але сказати щось більш визначене в той час він не міг.

Причини так званого броунівського руху зараз добре відомі. Частинку квіткового пилку або порошинку, завислу в рідині, безперервно «бомбардують» оточуючі молекули рідини. Імпульс однієї молекули навряд чи може бути достатньо великим для того, щоб результат її удару об частинку було видно під мікроскопом. Але якщо з часткою стикається відразу велика кількість молекул, що рухаються в одному напрямку, то вони можуть викликати її помітне зміщення.

Отже, броунівський рух – це вдвічі випадковий ефект. По-перше, траєкторія зваженої частинки виявляється хаотичною через випадкові флуктуації у швидкостях сусідніх молекул. По-друге, мікроскоп – свого роду фільтр і робить видимим тільки результат порівняно великих флуктуацій в локальному молекулярному оточенні, так що спостережуваний рух – це лише слабкий натяк на справжню траєкторію частинки. Якщо роздільну силу мікроскопа збільшити, наприклад в 10, 100 або 1000 разів, то можна буде розрізняти впливи, що надаються все меншими і меншими групами молекул. При кожному такому збільшенні ділянки траєкторії частинки, які раніше здавалися прямолінійними, будуть ставати безладно ламаними. Траєкторія частки при броунівському русі залишається подібною самій собі при будь-якому збільшенні. Такі геометричні об'єкти називаються фракталами.

Імовірнісні процеси

На початку минулого століття стало ясно, що дослідження броунівського руху має дуже важливе значення для розвитку фізики, хімії та математики. На основі таких досліджень А. Ейнштейн довів справедливість атомної теорії будови речовини. Крім того, він показав, що, вимірявши деякі величини, що характеризують броунівський рух, можна визначити низку важливих фізичних констант: маси атомів і молекул і число Авогадро, тобто кількість молекул в одному молі (стандартній хімічній одиниці кількості речовини). Вивчення броунівського руху призвело також до глибшого теоретичного розуміння начал термодинаміки, які раніше були сформульовані як спрощені емпіричні узагальнення.

Пізніше вивчення броунівського руху призвело до створення ряду математичних методів для дослідження імовірнісних процесів. Ці методи знайшли практичне застосування в боротьбі з електромагнітним «шумом»; вони дозволили також краще зрозуміти динаміку утворення зоряних скупчень, еволюцію екологічних систем і коливання курсу акцій на біржі.

Дивно, що у XIX столітті броунівський рух не викликав особливої ​​уваги з боку вчених. Його пояснювали дією локальних потоків у рідині, зумовлених малими різницями температури в ній. Але якби це було так, то частинки, що знаходяться близько одна до одної і захоплюються одним і тим же локальним потоком, повинні були б рухатися приблизно в одному напрямку. Під мікроскопом цього не спостерігається. Завислі частинки рухаються незалежно одна від одної, навіть якщо відстань між ними менша за їх діаметр.

До кінця позаминулого сторіччя були виявлені деякі закономірності броунівського руху, пов'язані з рухом молекул. Наприклад, чим менші розміри частинки, тим швидше вона рухалася. Підвищення температури рідини теж призводило до більш інтенсивного броунівського руху. Коли з'явилася кінетична теорія газів, було встановлено, що такі фізичні ефекти узгоджуються з нею. Але лише у 1905 році А. Ейнштейн вказав на перші кількісні наслідки з цієї теорії, що відноситься до броунівського руху.

Кінетична теорія газів

Кінетична теорія газів була першою успішною спробою, що показала, що добре відомі властивості газів – це макроскопічні прояви руху атомів. Її створення привело до важливого кроку вперед у концептуальному відношенні: замість детального опису руху окремих частинок речовини вводився його статистичний опис. Це уявлялося логічним, оскільки в системі дуже великої кількості частинок вкрай малоймовірні значні відхилення від середнього. З цієї причини кінетичну теорію часто називають статистичною механікою.

Зараз нам абсолютно ясно, що частка пилу або квіткового пилку, що знаходиться серед атомів газу або рідини, що хаотично рухаються, не може залишатися у спокої. Але щоб правильно оцінити внесок А. Ейнштейна, потрібно згадати, що 80 років тому фізична реальність атома і його складових частин, яку ми беззастережно приймаємо, ще не була визнана остаточно. Ейнштейн був першим, кому інтуїція підказала, що існування атомів має виявлятися в русі твердих частинок, завислих у рідині. Нічого не знаючи про броунівський рух, він вказав на те, що виявлення таких частинок з'явилося б переконливим підтвердженням кінетичної теорії. Одним з найбільш дивовижних результатів його роботи була формула, яка дала можливість вперше точно виміряти масу атома.

Дифузія

У дослідженнях атомної теорії броунівського руху, виконаних Ейнштейном, можна виділити математичну сторону (він вивів рівняння, що описує дифузію завислої «броунівської» частинки в рідкому середовищі) і фізичну, яка показує зв'язок між доступною вимірюванню швидкістю дифузії частинки та іншими величинами, такими, як число Авогадро і універсальна газова постійна.

Щоб розрахувати дифузію частинки, користуючись математичним апаратом класичної механіки, потрібно знати її початкову швидкість, а також величину і напрямок імпульсів, які частинка отримує за розглянутий відрізок часу. Але оскільки броунівська частинка зазнає приблизно 1021 зіткнень за 1 с, її початкова швидкість дуже швидко перестає чинити будь-який вплив на рух і далі він визначається ударами молекул. Описувати окремо всі імпульси – теж безнадійне завдання. Тому Ейнштейн відмовився від «прямого» механічного опису дифузії броунівської частинки. Замість цього він ввів імовірнісний опис.

Було виведено диференціальне рівняння дифузії. Його можна вирішити, якщо задані початкове положення дифундуючої речовини і межі простору, в якому можлива дифузія. Рішення – це математичний вираз, який дає концентрацію дифундуючої речовини в кожній точці простору для кожного моменту часу.

Зміщення частинки

При ймовірнісному підході зміщення частинки зручно характеризувати середньоквадратичним зміщенням. Що таке середньоквадратичне зміщення, найлегше зрозуміти, якщо розглянути дифузію великої кількості броунівських частинок. Виміряємо зміщення всіх частинок в деякий момент часу і зведемо їх у квадрат. Корінь квадратний із середнього всіх квадратів зміщень і буде середньоквадратичним зміщенням. Ймовірність того, що броунівська частинка продифундує від мембрани на відстань, що не перевищує одного середньоквадратичного зсуву, дорівнює 0,68. Ймовірність того, що вона пройде далі, ніж два середньоквадратичних зміщення, менше 0,05.

Якщо частинка в середньому за 1 с дифундує на 1 см, то 2 см вона пройде за 4 с, а 3 см – за 9 с. При інших початкових і граничних умовах диференціальне рівняння дифузії дає аналогічні рішення. Ейнштейну вдалося показати, що радіальний зсув частинки, що дифундує в будь-якому напрямку із середньої точки, «пропорційне не часові, а кореню квадратному з часу». Це пояснюється, за його словами, «тим, що шляхи, які проходяться за два наступних один за іншим інтервали часу, не завжди додаються, а часто віднімаються».

Новий коефіцієнт

Зазначений теоретичний висновок зробив можливою першу серйозну перевірку виразу Ейнштейна для розподілу ймовірності зсувів броунівської частинки. Французький фізик Ж. Перрен разом зі своїми студентами спостерігав за рухом майже сферичної броунівської частинки і реєстрував її положення через рівні інтервали часу. Повторивши такий експеримент багато разів, вони побудували графік залежності середньоквадратичного зсуву від часу. Вийшла пряма лінія, за нахилом якої був визначений коефіцієнт дифузії D.

Цей експериментально визначений коефіцієнт D і є нова величина, введена в теорії Ейнштейна, яка дозволяє виміряти масу атома.

Математична аналогія

Математичний апарат, розроблений для аналізу флуктуацій, що виявляються в броунівському русі, може знайти застосування майже в будь-якій області науки для оцінки впливу випадкової змінної. Випадкові змінні часто з'являються в описі багатьох явищ природи головним чином тому, що значення таких змінних невідомі або їх важко визначити. Одним з найперших застосувань була фільтрація статичного, або випадкового, шуму при прийомі радіолокаційних сигналів і радіомовних програм. За аналогією тими ж математичними засобами можна користуватися в усіх випадках, коли того чи іншого роду «шум» є в системі, еволюція якої за відсутності шуму була б визначеною. Завдання тут полягає в тому, щоб оцінити вплив випадкової змінної на вихідні дані.

Наприклад, при дослідженні динаміки зоряних скупчень рух зірки часто може бути розкладено на дві складові. Одна складова – гравітаційний вплив всього скупчення, а інша – гравітаційний вплив локального зоряного оточення. Вплив всього скупчення плавно змінюється з часом і зі зміною положення даної зірки. Його можна апроксимувати простим виразом для гравітаційної потенційної енергії, оскільки кількість зірок, що дають внесок у цю силу, дуже велика.

Вплив же локального зоряного оточення призводить до швидких флуктуацій гравітаційного потенціалу в місці розташування цієї зірки. Через такі флуктуації миттєва сила, що діє на розглянуту зірку, відхиляється від значення, що відповідає одному змінному гравітаційному потенціалу.

Економіка і навігація

Останнім часом імовірнісний аналіз, заснований на математиці броунівського руху, знайшов застосування в економіці. Економісти користуються такими методами при дослідженні тенденцій зміни курсу акцій, темпу інфляції, курсу за касовими операціями та інших фінансових змінних. Наприклад, курс цінних паперів може частково визначатися опціонами, тобто «Угодами з преміями», укладання яких дає право купити або продати товари або цінні папери у встановлений термін. Курс цінних паперів повинен, очевидно, коливатися залежно від кількості таких угод і розмірів премій. Такі відхилення накладаються на той курс, який встановився б у відсутність опціонів в грі суто ринкових сил. Потрібно, звичайно, з максимально можливою вірогідністю передбачити майбутній курс цих цінних паперів.

Зараз фізика броунівського руху, що лежить в основі відповідної математичної теорії, вивчена досить повно, проте розробку математичних аналогій не можна вважати завершеною.

 

Читайте також:

 

Коментарі:

blog comments powered by Disqus